Προβλήματα λογικής

[Themis†]

Διέρρευσαν, λέει, ερωτήσεις που έβαζε η Apple σε υποψήφιους υπαλλήλους. Περιλαμβάνεται ένα απλό πρόβλημα λογικής που πολύ μου άρεσε:

Υπάρχουν τρία κουτιά. Το ένα περιέχει μήλα, το άλλο πορτοκάλια και το τρίτο περιέχει πορτοκάλια και μήλα. Στα κουτιά έχουν μπει λάθος ταμπέλες και καμία από τις ταμπέλες δεν δείχνει το σωστό περιεχόμενο των κουτιών. Ανοίγοντας μόνο ένα κουτί και χωρίς να κοιτάξεις μέσα, μπορείς να βγάλεις μόνο ένα φρούτο. Κοιτώντας μόνο αυτό το φρούτο, πώς μπορείτε να βάλετε τις σωστές ταμπέλες στα κουτιά;

 

[Alexandra]

6. Έχετε 100 νομίσματα σε ένα τραπέζι. Τα 10 δείχνουν την «κορώνα» και τα 90 τα «γράμματα». Δεν μπορείτε να τα ακουμπήσετε, να τα δείτε, ούτε και να βρείτε με άλλο τρόπο αν είναι κορώνα ή γράμματα. Χωρίστε τα νομίσματα σε δύο στοίβες, έτσι ώστε να υπάρχει ίσος αριθμός από κορώνες και γράμματα σε κάθε στοίβα.

Υπάρχει, ως συνήθως, μεταφραστικό λάθος σε αυτό το "ακουμπήσετε". Στα αγγλικά λέει "feel", δηλαδή να τα ψηλαφήσεις. Μπορείς προφανώς να τα πιάσεις, αλλά δεν επιτρέπεται να τα ψηλαφήσεις για να διαπιστώσεις αν δείχνουν κορώνα ή γράμματα.
http://www.indiatimes.com/lifestyle...ve-been-asked-at-apple-interviews-247409.html

 

[Alexandra]

Για το πρώτο, η λύση είναι εδώ.

 

[Themis†]

Ξαναβάζω εδώ το δεύτερο πρόβλημα λογικής που είχα αναφέρει και το οποίο σχολίασε η Αλεξάνδρα:

Έχετε 100 νομίσματα σε ένα τραπέζι. Τα 10 δείχνουν την «κορώνα» και τα 90 τα «γράμματα». Δεν μπορείτε να τα ακουμπήσετε, να τα δείτε, ούτε και να βρείτε με άλλο τρόπο αν είναι κορώνα ή γράμματα. Χωρίστε τα νομίσματα σε δύο στοίβες, έτσι ώστε να υπάρχει ίσος αριθμός από κορώνες και γράμματα σε κάθε στοίβα.

'Ελεγα ότι αυτό μπορεί να γίνει με κλειστά μάτια, αλλά μόνο έχοντας τη δυνατότητα να τα ακουμπήσουμε. Μετά ξαναείδα τη διατύπωση και μπερδεύτηκα τελείως: αν ο "ίσος αριθμός από κορώνες και γράμματα σε κάθε στοίβα" σημαίνει ότι κάθε στοίβα πρέπει να είναι μοιρασμένη στη μέση ανάμεσα σε κορώνες και γράμματα, μου φαίνεται εντελώς αδύνατο. Αν βέβαια εννοεί ότι η καθεμιά πρέπει να έχει ίσο αριθμό από κορώνες και γράμματα με την άλλη, τότε ισχύει αυτό που είπα προηγουμένως.

 

[Themis†]

Corrigendum: Αν βέβαια εννοεί ότι η καθεμιά πρέπει να έχει ίσο αριθμό από κορώνες και γράμματα με την άλλη, τότε ισχύει αυτό που είπα προηγουμένως.

Παρασύρθηκα από την τραγική ελληνική μετάφραση, η οποία αποδείχτηκε πολύ δημιουργική προσθέτοντας και τα γράμματα. Το πρωτότυπο λέει: "Split the coins into two piles such that there are the same number of heads in each pile".

 

[SBE]

Αυτό ακριβώς σκέφτηκα κι εγώ, εφόσον έχουμε 90-10, πώς, αν τα μοιράσουμε σε δυο ομάδες, θα γίνουν 50-50; Αφού δεν ξεκινάμε με 50-50.

 

[SBE]

Παρεμπιπτόντως, σε περίπτωση που υπάρχουν αναγνώστες αυτής της σελίδας που βλέπουν τα πιο πάνω και σκέφτονται πω, πω, να γιατί εγώ δεν δουλεύω στην Απλ, είμαι μπούφος να τους θυμίσουμε ότι οι αιτούντες εργασία δεν δοκιμάζονται μόνο στα πιο πάνω και δεν πάνε απροετοίμαστοι σε αυτές τις συνεντεύξεις.
Πρώτον, υπάρχουν βιβλία με ασκήσεις που μπορείς να μελετήσεις και να προετοιμαστείς. Τα βιβλία αυτά εξηγούν τον τρόπο σκέψης που χρειάζεται να ακολουθήσεις, κι έτσι σε προετοιμάζουν για άγνωστα προβλήματα. Τα βιβλία αυτά τα γράφουν αυτοί που φτιάχνουν και τις ερωτήσεις της Απλ ή οποιασδήποτε άλλης εταιρίας, οπότε είναι σχετικά. Οι αιτούντες συνήθως τα αγοράζουν όλα και κάθονται και τα διαβάζουν μανιωδώς και εξασκούνται συνεχώς. Ακριβώς όπως όταν προετοιμάζεσαι για σοβαρές εξετάσεις. Και φυσικά οι πιο μελετηροί και επίμονοι προετοιμάζονται καλύτερα και αφιερώνουν δυο- τρεις μήνες.
Δεύτερον, δεν ζητάει αυτός που κάνει τη συνέντευξη να βγάλεις την απάντηση από το καπέλο σου σαν λαγό, αλλά θέλει να δει πώς σκέφτεσαι για να φτάσεις στη λύση. Δηλαδή μπορείς να δώσεις λάθος απάντηση, αλλά με σωστή σκέψη και να γίνει δεκτή. Τουλάχιστον έτσι ισχυρίζονται, αλλά ούτως ή άλλως, η συνέντευξη δεν είναι ερώτηση- σιωπή πέντε δευτερολέπτων- απάντηση (κι αν η σιωπή είναι μεγαλύτερη, απόρριψη). Συνήθως υπάρχει χαρτί και μολύβι στο τραπέζι και περιμένουν από τον υποψήφιο να τα χρησιμοποιήσει και να τους δείξει τί κάνει και να τους εξηγήσει τη σκέψη του.
Τρίτον, οι υποψήφιοι συνήθως είναι πρόσφατοι απόφοιτοι και έχουν πολύ πρόσφατα στο μυαλό τους τα σχετικά μαθήματα, καθώς και εξετάσεις/ διαγωνίσματα/ διαγωνισμούς/ τεστ κλπ που περιέχουν παρόμοιες ερωτήσεις. Δεν είναι ο τυχαίος αναγνώστης του άρθρου που έχει να πιάσει βιβλίο απο το λύκειο.
Τέταρτον, οι υποψήφιοι δεν είναι συνήθως απόφοιτοι του ελληνικού εκπαιδευτικού συστήματος (δεν το λέω υποτιμητικά για το ελληνικό εκπαιδευτικό σύστημα). Είναι απόφοιτοι συστήματος στο οποίο τέτοιου είδους γρίφοι εμφανίζονται πιο συχνά στην εκπαίδευση απ'ό,τι στην Ελλάδα.
Πέμπτον, αν σπάτε το κεφάλι σας αλλά εξακολουθείτε να μην καταλαβαίνετε τη λύση, κάτι που μου είχε πει κάποιος που τον εκτιμώ ιδιαίτερα σαν δάσκαλο, όταν είχα παραπονεθεί ότι με δυσκολεύει πολύ ένα κεφάλαιο των μαθηματικών (η πλήξη εμφανίζεται στα τρία δευτερόλεπτα από την έναρξη της μελέτης σχετικού υλικού και δεν έχω καταφέρει ποτέ, όσο και να έχω προσπαθήσει, να απομνημονεύσω τα στοιχειώδη), ενώ δεν έχω κανένα πρόβλημα να καταλάβω ένα άλλο, που θεωρείται πολλαπλασίως πολυπλοκότερο: ο καθένας έχει το δικό του σύστημα σκέψης και υπάρχουν καλές δουλειές για όλα τα συστήματα σκέψης.
Και έκτον και τελευταίον, ακόμα και στην Απλ ισχύουν οι γνωστές μέθοδοι της γνωριμίας και του χατιριού. Απλά για να σου κάνει το χατίρι να σε προσλάβει ο γνωστός θα πρέπει να περάσεις τη δοκιμασία των ερωτήσεων αυτών με στοιχειώδη αξιοπρέπεια, δηλαδή να κάνεις μια σοβαρή προσπάθεια να απαντήσεις. Δεν σου έρχεται η δουλειά στο πιάτο (συνήθως).

ΥΓ Αυτά τα γράφω γιατί κατά καιρούς χρειάζεται να εμψυχώνω φοιτητές οι οποίοι έχουν ΤΑ προβλήματα και το κυριότερο, δεν είχαν ποτέ καμία υποστήριξη από το περιβάλλον τους για τις σπουδές τους, με αποτέλεσμα πράγματα που θεωρούνται αυτονόητα για πολλούς, είτε δεν τα ξέρουν, είτε τα θεωρούν άπιαστο όνειρο.
ΥΓ2 Δεν υποτιμώ τη δυσκολία των ερωτήσεων που αναφέρετε πιο πάνω, απλά θέλω να ξεκαθαρίσω ότι οποιαδήποτε ιδέα ότι η πρόσληψη στην Απλ εξαρτάται αποκλειστικά και μόνο από την εύρεση της σωστής απάντησης σε αυτές τις ερωτήσεις (και σε χρόνο dt), είναι ψευδής.

 

[Themis†]

Θα συνόψιζα τη λύση του προβλήματος των νομισμάτων ως εξής:

Στην αρχική στοίβα έχουμε 90 γράμματα και 10 κορώνες (γ = 90, κ = 10). Παίρνοντας στην τύχη 10 νομίσματα, σχηματίζουμε μια μικρή στοίβα (στοίβα 2) που έχει άγνωστο αριθμό από κορώνες (κ[SUB]2[/SUB] από 0 έως 10). Στη μεγάλη στοίβα των 90 νομισμάτων (στοίβα 1) έχουν απομείνει οι αρχικές κορώνες μείον όσες έφυγαν (κ[SUB]1[/SUB] = 10 - κ[SUB]2[/SUB]). Η μικρή στοίβα έχει συνολικά 10 νομίσματα, και όσα δεν είναι κορώνα είναι γράμματα (γ[SUB]2[/SUB] = 10 - κ[SUB]2[/SUB]). Όσες δηλαδή κορώνες έχει η μεγάλη στοίβα τόσα γράμματα έχει η μικρή, οπότε αρκεί να αναποδογυρίσουμε όλα τα νομίσματα της μικρής (στοίβα 3) για να έχουμε τόσες κορώνες όσες και στη μεγάλη (κ[SUB]3[/SUB] = γ[SUB]2[/SUB] = 10 - κ[SUB]2[/SUB]). Όπερ έδει δείξαι.

SBE, σωστά αυτά που λες. Η ίδια λογική ίσχυε και στις συνεντεύξεις για εισδοχή φοιτητών στο Καίμπριτζ, όπου δεν ζητούσαν λύσεις αλλά προσπαθούσαν να ανιχνεύσουν ικανότητα συλλογισμού, γι' αυτό έδιναν εντελώς πρωτόγνωρα προβλήματα και δεν δίσταζαν να βοηθήσουν λιγάκι, για να δουν αν ο εξεταζόμενος είχε την ικανότητα να συνεχίσει τον συλλογισμό.

 

[SBE]

Θέμη, τί εννοείς ότι αναποδογυρίζεις τα νομίσματα; Η ερώτηση δεν λέει ότι δεν μπορείς να τα αγγίξεις;

Όσο για το άλλο, η ίδια λογική ισχύει στις περισσότερες συνεντεύξεις για εισαγωγικό επίπεδο. Αν πας για δουλειά διευθυντή, δεν σε ρωτάνε τέτοια, όπως δεν σου ζητάνε να είσαι good team player (το άλλο βάσανο), γιατί ο πραγματικά good team player ποτέ δεν γίνεται προϊστάμενος.

 

[Alexandra]

Όχι, δεν λέει ότι απαγορεύεται να τα αγγίξεις. Λέει ότι απαγορεύεται να τα ψηλαφήσεις, για να καταλάβεις ποιο είναι κορώνα και ποιο γράμματα. Κοίταξε τι λέω στο #2. Το "ακουμπήσεις" είναι μεταφραστικό λάθος. Στα αγγλικά λέει "feel", όχι "touch".

 

[Hellegennes]

Αν δεν μπορείς να τα ακουμπήσεις θα είναι πολύ δύσκολο να τα χωρίσεις σε δυο στοίβες.

Η λύση του Θέμη είναι σωστή, ωστόσο δεν είναι η μόνη σωστή λύση ή μάλλον είναι μια λύση που οφείλει την ύπαρξή της σε έναν συγκεκριμένο τρόπο σκέψης: ότι η διατύπωση του προβλήματος δεν απαγορεύει την αλλαγή του συνολικού αριθμού των νομισμάτων που δείχνουν κορώνα. Με την λύση του Θέμη, θα καταλήξουμε να έχουμε από 0 ως 20 κορώνες. Ωστόσο ένας άλλος τρόπος σκέψης λέει ότι στην διατύπωση δεν δίνεται η δυνατότητα να κάνεις αλλαγές στο στήσιμο γιατί δεν αναφέρεται πουθενά. Ίσως μια τέτοια διατύπωση να έκανε ευκολότερη την ερώτηση, ωστόσο με τον τρόπο που δίνεται χάνεται η σαφήνεια. Τέλος, υπάρχει και η σχολή σκέψης που λέει ότι η διατύπωση "ίσος αριθμός από κορώνες" δεν έχει νόημα μαθηματικά, όταν τύχει το τελικό σύνολο κορώνων -στην λύση του Θέμη- να ισούται με το 0.

 

[Themis†]

Αν δεν μπορείς να τα ακουμπήσεις θα είναι πολύ δύσκολο να τα χωρίσεις σε δυο στοίβες.

Σωστό, αλλά το ζήτημα έχει ξεκαθαριστεί στα προηγούμενα ποστ.

...είναι μια λύση που οφείλει την ύπαρξή της σε έναν συγκεκριμένο τρόπο σκέψης: ότι η διατύπωση του προβλήματος δεν απαγορεύει την αλλαγή του συνολικού αριθμού των νομισμάτων που δείχνουν κορώνα.

Και βέβαια δεν το απαγορεύει. Έχει κι αυτό ξεκαθαριστεί στα προηγούμενα ποστ. Η πρωτότυπη διατύπωση λέει: "Split the coins into two piles such that there are the same number of heads in each pile". Ακριβώς αυτό και τίποτε άλλο. Δεν υπάρχει καμία τέτοια απαγόρευση.

ένας άλλος τρόπος σκέψης λέει ότι στην διατύπωση δεν δίνεται η δυνατότητα να κάνεις αλλαγές στο στήσιμο γιατί δεν αναφέρεται πουθενά.

Αυτός ο τρόπος σκέψης δεν έχει καμία σχέση ούτε με τα προβλήματα λογικής ειδικότερα ούτε με τη λογική γενικά. Η διατύπωση των προβλημάτων λογικής πρέπει να παίρνεται πολύ στα σοβαρά, γιατί υποτίθεται ότι είναι απόλυτα λογική και ακριβόλογη. Τα οποιαδήποτε "επιτρέπεται" και "απαγορεύεται" περιέχονται στην ίδια τη διατύπωση (στην πρωτότυπη βέβαια, δυστυχώς όχι στην ελληνική μετάφραση!). Μια συνηθισμένη μεγάλη δυσκολία είναι ότι τείνουμε να συμπληρώσουμε με το μυαλό μας κάτι που δεν λέει η ίδια η διατύπωση. Εγώ π.χ. έχασα κάποια λεπτά μετά την αρχική ανάγνωση του προβλήματος του πρώτου ποστ επειδή θεώρησα (ενώ δεν το έλεγε η διατύπωση) ότι δεν μπορούμε να κοιτάξουμε ούτε τις ετικέτες.

Τέλος, υπάρχει και η σχολή σκέψης που λέει ότι η διατύπωση "ίσος αριθμός από κορώνες" δεν έχει νόημα μαθηματικά, όταν τύχει το τελικό σύνολο κορώνων -στην λύση του Θέμη- να ισούται με το 0.

Όλα τα πράγματα είναι τοποθετημένα σε ένα κοινωνικοπολιτιστικό πλαίσιο. Στα προβλήματα λογικής, όπως και στα μαθηματικά του δημοτικού και των πρώτων τάξεων του γυμνασίου, το μηδέν ισούται με μηδέν. Μετά καθαρίζουν κολλώντας παντού την προϋπόθεση "διάφορο του μηδενός". Δεν νομίζω ότι η μαθηματικά ανεξιχνίαστη φύση του μηδενός θα πρέπει να μας εμποδίζει να παριστάνουμε οιονεί αλγεβρικά τα προβλήματα λογικής.

Παρεμπιπτόντως, εγώ απέφυγα πάση θυσία τη γενική πληθυντικού της "κορώνας". Τυχαίο;

 

[Hellegennes]

Ναι, αλλά εγώ αναφέρθηκα σε σχολές σκέψης. Δεν σκέφτονται όλοι οι άνθρωποι με τον ίδιο τρόπο, γι' αυτό και τα τεστ λογικής και νοημοσύνης αποτυγχάνουν να διαχωρίσουν τους ανίδεους από τις ιδιοφυΐες. Ας πούμε, όταν ένα πρόβλημα λογικής θέτει κανόνες, είναι σημαντικό να διατυπώνεται έτσι που να μην μπερδεύει τον ερωτούμενο σχετικά με το τι επιτρέπεται. Καλύτερο δε είναι να αναφέρεται ξεκάθαρα τι επιτρέπεται εκτός από το τι απαγορεύεται, αλλιώς ένα ολοκληρωμένο σύστημα επίλυσης που βασίζεται σε κανόνες (μια μη πραγματική AI) δεν θα μπορέσει ποτέ να βρει την λύση. Σημείωσε ότι αν δεν περιγραφούν τα βήματα που μπορείς να κάνεις, οι λύσεις στο πρόβλημα είναι θεωρητικά άπειρες. Υπάρχουν πολλοί ευφάνταστοι τρόποι να βρεις τις σωστές ετικέτες χωρίς να σκοντάψεις στις απαγορεύσεις. Π.χ. δεν βλέπω να απαγορεύεται πουθενά στην διατύπωση του πρώτου προβλήματος να κουνήσω τα κουτιά για να δω τι ήχο κάνουν ή να ψηλαφίσω το περιεχόμενο ή να τα μυρίσω ή ακόμη πιο πολύπλοκα πράγματα (να τα ακτινογραφήσω, να βάλω κάποιον άλλον να τα δει και να μου τα περιγράψει ή άλλα πιο κουλά πράγματα).

Όσο για την μαθηματική έννοια του μηδενός, δεν σκοντάφτει μόνο εκεί η λύση. Υπήρχαν -και ίσως ακόμα υπάρχουν- κουλτούρες και οι γλώσσες τους που δεν είχαν έννοια του μηδενός ή τουλάχιστον όπου το μηδέν δεν θεωρούνταν αριθμός. Εκεί η έννοια του ισάριθμου θα μιλάει πάντα για θετικούς απόλυτους αριθμούς. Στα αρχαία ελληνικά π.χ. αυτή η λύση δεν θα είχε νόημα ούτε γλωσσικά. Επίσης το μηδέν είναι τραγικά απόν από τον φυσικό κόσμο και το συναντάμε μόνο σαν αόριστη έννοια στις γλώσσες μας (δεν υπάρχει μηδέν στο σύμπαν), αλλά αυτό είναι άλλο θέμα.

 

[SBE]

Νομίζω Έλλη ότι ένα μέρος της αναμενόμενης απάντησης είναι το να αναλάβει πρωτοβουλία ο υποψήφιος, θέτοντας μόνος του τους όρους της άσκησης. Στην περίπτωση της λύσης του Θέμη, ο υποψήφιος μπορέι να ρωτήσει "επιτρέπεται να γυρίσω τα νομίσματα ανάποδα;" ή και να μην ρωτήσει καθόλου αλλά να πει "έστω ότι μπορώ να γυρίσω τα νομίσματα, τότε..." κλπ κλπ.
Αν το δεις από τη σκοπιά αυτού που ρωτάει, μια τέτοια αντίδραση στην ερώτηση, ακόμα κι αν ακολουθήσει απάντηση με λάθη, είναι καλή γιατί σε corporate speak σημαίνει ότι ο υποψήφιος σκέφτεται έξω απο το κουτί (με τα νομίσματα)*, γιατι σκέφτεται αργά κι όχι γρήγορα (κατά Κάνεμαν, που τον έχουμε αναφέρει κι εδώ) κλπ κλπ κλπ.
Περιέχει δηλαδή εν μέρει το "πήδα από το παράθυρο" που σου λέει ο εξεταστής, χωρίς να προσδιορίζει προς ποιά κατέυθυνση να πηδήξεις, που σημαίνει ότι αν ανέβεις στο περβάζι και πηδήξεις μέσα είσαι τυπικά σωστός.

* Πάντα ήθελα να βρω αφορμή για τέτοιο λογοπαιγνιο, φευ, στην αγγλική όμως...

 

[2gthes]

Η λύση μαλλον είναι πιο απλή...
Χωρίζουμε τα νομίσματα σε 2 ίσα μέρη 50 - 50.
Ολα τα νομίσματα έχουν κορώνα και γράμματα. Δεν αναφέρει στο ερώτημα ότι μετά το χωρισμό σε 50-50 πρέπει να νομίσματα να δειχνουν στο επάνω μερος τα γράμματα ή την κορώνα. Απλά να χωριστούν σε δύο στοίβες που να περιέχουν ίσο αριθμό από κορώνες και γράμματα.

 

[Alexandra]

Καλώς όρισες, 2gthes.

Νομίζω ότι για να ξέρουμε ακριβώς το πρόβλημα, είναι καλύτερα να βάλουμε την αγγλική διατύπωση, επειδή αυτός που το μετέφρασε στα ελληνικά μάλλον τα έχει κάνει μαντάρα. Προσέξτε ότι στα αγγλικά δεν λέει "να υπάρχει ίσος αριθμός κορώνες και γράμματα σε κάθε στοίβα".

"You have a 100 coins laying flat on a table, each with a head side and a tail side. 10 of them are heads up, 90 are tails up. You can't feel, see or in any other way find out which side is up. Split the coins into two piles such that there are the same number of heads in each pile."

 

[drsiebenmal]

Εμένα μου αρέσει η ερμηνεία του 2gthes (καλωσόρισες), που νομίζω ότι περνάει και με την αγγλική διατύπωση (δεν λέει "heads up", μόνο "heads").

 

[rogne]

Η λύση μαλλον είναι πιο απλή...
Χωρίζουμε τα νομίσματα σε 2 ίσα μέρη 50 - 50.
Ολα τα νομίσματα έχουν κορώνα και γράμματα. Δεν αναφέρει στο ερώτημα ότι μετά το χωρισμό σε 50-50 πρέπει να νομίσματα να δειχνουν στο επάνω μερος τα γράμματα ή την κορώνα. Απλά να χωριστούν σε δύο στοίβες που να περιέχουν ίσο αριθμό από κορώνες και γράμματα.

Όπως το 'πες!

 

[SBE]

Kι εγώ συμφωνώ.