I feel bad / I feel bad about that = νιώθω άσχημα, νιώθω χάλια, στενοχωριέμαι που...

[Theseus]

An easy one I think for native Greeks! 'I feel bad' means 'I don't feel well' or 'I feel sick'. Νιώθω άσχημα is horribly literal. But 'to feel bad about' means to experience regret, sadness, embarrassment, or a similar unpleasant emotion. For example,
--'I feel bad about not attending the funeral.' (This surely wouldn't be Νιώθω/αισθάνομαι άσχημα για/ Νιώθω πολύ χάλια για.., would it?)
--'The teacher's scolding made Bobby feel bad.' [First half of 1800s]

 

[daeman]

[...](This surely wouldn't be Νιώθω/αισθάνομαι άσχημα για/ Νιώθω πολύ χάλια για.., would it?)
[...]

Yes, it would, it's very common: Νιώθω χάλια που δεν πήγα στην κηδεία. Η κατσάδα του δασκάλου έκανε τον Μπόμπι να νιώσει άσχημα.

There are always «στενοχωρώ / στενοχωριέμαι» for "make someone feel bad / I feel bad" or «λυπώ / λυπάμαι» for "make someone feel sad (sorry) / I feel sad (sorry)" which could be used like this in the examples you mention:
- Λυπάμαι που δεν πήγα στην κηδεία.
- Η κατσάδα του δασκάλου στενοχώρησε τον Μπόμπι.

- He feels very bad about what he did.

- Νιώθει πολύ άσχημα / χάλια γι' αυτό που έκανε.
- Στενοχωριέται πολύ γι' αυτό που έκανε.
- Λυπάται πολύ γι' αυτό που έκανε.